tangente hyperbolique -MATHS

Tangente hyperbolique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Graphe de la fonction tangente hyperbolique sur une partie de R

La tangente hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

[masquer]

Définition[modifier]

La fonction tangente hyperbolique, notée tanh ou th est la fonction complexe suivante :

$egin{matrix} anh:&Csetminus ipi(+frac12)&longrightarrow&C\&z&longmapsto&frac{sinh(z)}{cosh(z)}end{matrix}$

où $s i n h$ est la fonction sinus hyperbolique et $c o s h$ la fonction cosinus hyperbolique. Cette définition est analogue à celle de la fonction tangente comme rapport du sinus et du cosinus, et d'ailleurs, on a (pour tous les z du domaine de définition) $tanh(z) = i .tan(i z)$ , ou encore $tan(z) = - i .tanh(i z)$ .

La tangente hyperbolique peut s'exprimer à l'aide de la fonction exponentielle :

$anh(z)=frac {e^z-e^{-z}} {e^z+e^{-z}} = frac {e^{2z}-1} {e^{2z}+1}$ .

Propriétés[modifier]

Propriétés générales[modifier]

tanh est continue et infiniment dérivable.
C'est une fonction impaire.
La dérivée de tanh est $frac {1} {cosh^2}$ .
La primitive de tanh est $ln left(cosh ight) + C$ , à une constante d'intégration C près.
La restriction de tanh à $mathbb R$ est impaire et strictement croissante. Il s'agit d'une bijection de $mathbb R$ dans $left] -1; 1 ight[$ .
tanh est une solution de l'équation différentielle $frac {1}{2} f'' = f^3 -f$ .

Développement en série de Taylor[modifier]

tanh est infiniment dérivable :

$anh^{(n)}(0)=sum_{k=0}^{n-1} left(-1 ight)^k left langle {natop k} ight angle$

où $left langle {natop k} ight angle$ est le nombre de permutations de ${1,..., n}$ dans lesquelles k éléments exactement sont plus grands que l'élément précédent (nombres eulériens).

tanh possède donc un développement en série de Taylor en tout point :

$anh z = z - frac {z^3} {3} + frac {2 z^5} {15} - frac {17 z^7} {315} + frac {62 z^9} {2835}+ cdots = sum_{n=0}^infty frac { anh^{(2n+1)}(0)} {(2n+1)!} z^{2n+1}$ .

Développement en fraction continue[modifier]

La restriction de tanh à $mathbb R$ admet un développement en fraction continue :

$anh x=frac {x} {1+frac {x^2} {3+frac {x^3} {5+cdots} } }$

Valeurs[modifier]

Quelques valeurs de tanh :

$anh(0) = 0 ,$
$anh(1) = frac {e^2-1} {e^2+1}$
$anh({ m i}) = { m i} an(1) ,$

Fonction réciproque[modifier]

tanh admet une fonction réciproque, notée argtanh. Il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments $left]-infty ;-1 ight[$ et $left]1;+infty ight[$ .

$operatorname{argtanh}(z) = frac {1}{2} left( ln(1+z)-ln(1-z) ight)$

Pour $x in left]-1;1 ight[$ , la restriction de tanh à $mathbb R$ admet une réciproque : $operatorname{argtanh}(x)=frac {1}{2} operatorname{ln}left( frac {1+x} {1-x} ight)$ .

Sinus hyperbolique

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Graphe de la fonction sinus hyperbolique sur une partie de $mathbb R$

Le sinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

[masquer]

Définition[modifier]

La fonction sinus hyperbolique, notée sinh ou sh est la fonction complexe suivante :

$sinh : z longmapsto frac {e^z-e^{-z}}{2}$

où $e$ est le nombre exponentiel.

La fonction sinus hyperbolique est la partie impaire de la fonction exponentielle.

La fonction sinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction sinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés[modifier]

Propriétés générales[modifier]

sinh est continue et infiniment dérivable.
La dérivée de sinh est cosh, la fonction cosinus hyperbolique.
Les primitives de sinh sont cosh+C, à une constante d'intégration C près.
La restriction de sinh à $mathbb R$ est impaire et strictement croissante.

Propriétés trigonométriques[modifier]

De par les définitions des fonctions sinus et cosinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

$e^z = cosh(z) + sinh(z) ,$

$e^{-z} = cosh(z) - sinh(z) ,$

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

$cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 ,$ .

D'autre part, pour $x in mathbb R$ :

$sinh(i x) = frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2} = i sin(x)$

$sinh(x) = -i sin(i x) ,$

$sinh(x+y) = sinh(x) cosh(y) + cosh(x) sinh(y) ,$

$sinh^2left(frac{x}{2} ight) = frac{cosh(x)-1}{2}$

L'utilisation de formules trigonométriques telles que tan(2t) = ^{(2 tan t)}⁄_{(1-tan² t)} permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel $x$ non nul) :

$sinh(x) = frac {-1} { an(2 imes mathrm{Arctan}(e^x))}$ ;

voir également l'article Gudermannien

Développement en série de Taylor[modifier]

sinh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$sinh z = z + frac {z^3} {3!} + frac {z^5} {5!} + cdots = sum_{n=0}^infty frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Valeurs[modifier]

Quelques valeurs de sinh :

$sinh(0) = 0 ,$
$sinh(1) = frac {e^2-1}{2e}$
$sinh(i) = i sin(1) ,$

Zéros[modifier]

Tous les zéros de $sinh$ sont des imaginaires purs : $zin mathbb{C}, sinh(z)=0 Leftrightarrow z in {i k pi ; k in mathbb{Z}}$ .

[dérouler]

Démonstration

Fonction réciproque[modifier]

Graphe de la fonction argument sinus hyperbolique sur une partie de R

sinh admet une fonction réciproque, notée argsinh (ou argsh), et nommée argument sinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction multiforme complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments $left]-infty i;-i ight[$ et $left]i;+infty i ight[$ .

$operatorname{argsinh}(z) = lnBig(z + sqrt{1+z^2}Big)$

Pour $x in mathbb R$ , la restriction de sinh à $mathbb R$ admet une réciproque : $operatorname{argsinh}(x)= lnBig(x + sqrt{1+x^2}Big)$ ; il est facile de démontrer ce résultat en utilisant que $operatorname{ch}^2t-operatorname{sh}^2t=1$ , et donc, en posant $operatorname{sh}t=x$ on aura $e^t=operatorname{sh} t+operatorname{ch} t= x+sqrt {1+x^2}$ .

08/09/2011

0 J'aime 0 Poster un commentaire

⨯

Inscrivez-vous au blog

Soyez prévenu par email des prochaines mises à jour

Rejoignez les 6 autres membres